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Exercices : Dérivées et fonctions exponentielles
Exercice 1
Partie A
La courbe C f ci-dessous, associée à une fonction f définie sur l'intervalle [0; 19 ] ,
représente l'audiance journalière d'une chaîne de télévision entre le 1er janvier 2000 (année
numéro 0) et le 1er janvier 2019 (année numéro 19), c'est-à-dire le nombre quotidien de
téléspectateurs, en milliers.

Partie B
On cherche maintenant à prévoir l'évolution de l'audience de cette chaîne de télévision lors
des dix prochaines années.
On considère que le nombre journalier (exprimé en milliers) de téléspectateurs de la chaîne
est modélisé par la fonction f définie sur l'intervalle [0; 29 ] par :
2
−0,1 x
f ( x)=( 20 x −80 x+460)e
où x représente le nombre d'années depuis 2000 (par exemple x=19 pour l'année 2019)
1) Donner une valeur approchée au millier du nombre de téléspectateurs de la chaîne
le 1er janvier 2014.
2) On note f ' la fonction dérivée de f sur l'intervalle [0; 29 ] .
a) Démontrer que f ' est définie par :
2
−0,1 x
f ' ( x)=(−2 x +48 x−126)e
2
b) On considère l'équation : −2 x +48 x−126=0 .
Un logiciel de calcul formel donne :
Instruction :
Résultat :
2

S olv e(−2 x +48 x−126=0)

3 et 21

Retrouver ce résultat par le calcul.
En déduire le signe de f ' ( x) sur l'intervalle [0 ; 29 ] et construire le tableau
de variations de f sur l'intervalle [0; 29 ] .
Arrondir les éléments du tableau à l'unité.
d) Le nombre journalier de téléspectateurs de cette chaîne de télévision
dépassera-t-il la barre du million avant l'année 2029 ? Justifier.
c)

Ainsi, le 1er janvier 2000 la chaîne a été regardée par environ 460 000 téléspectateurs.
1) Décrire l'évolution de l'audience journalière de cette chaîne de télévision entre le
1er janvier 2000 et le 1er janvier 2019.
2) Donner une valeur approchée du nombre de téléspectateurs le 1er janvier 2014.
3) La droite (AB), où les points A et B ont pour coordonnées A (0 ;460) et B(3 ;82)
est la tangente à la courbe C f au point A.
Déterminer la valeur de f ' (0) où f ' désigne la fonction dérivée de la fonction
f représentée par C f .

3) Montrer que l'équation f ( x)=800 admet une unique solution α dans l'intervalle
[3; 21] .
Déterminer un encadrement d'amplitude 1 de α .
Au cours de quelle année le nombre journalier de téléspectateurs de la chaîne de
télévision dépassera-t-il 800 000 ?